I. Why the complex constant 'i' is needed in Schrodinger Equation ?

 

일반 (고전역학) 파동 방정식:

                     .... Eqn.(1)

i) 일반해:    

ii) 위치와 시간에 대한 1차, 2차 미분:

                   .... Eqn.(2)

               .... Eqn.(3)

               .... Eqn.(4)

              .... Eqn.(5)

iii) Eqn.(2)와 (3)으로부터 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다.

이 파동이 물질파라면 에너지 와 운동량  식을 적용하면,

iv) 한편 물질파의 에너지()와 운동량()을 이용하면, 는

   로부터 에너지와 운동량에 의존하지 않는  관계식을 얻을 수 있다.

v) Eqn.(3)을 Eqn.(4)로 나누면,

                        .... Eqn.(6)

이때 sin과 cos의 위상(phase)를 일치시키는 조건인

를 적용하면,

식을 얻을 수 있게 된다. (증명 - 아래 별첨 참조)

 

vi) 이에 따라 에너지와 운동량에 의존하지 않는 물질파의 파동방정식을 얻을 수 있다.

vii) 따라서 아래 식을 파동방정식 일반해에 적용하면

    즉,     ->  

 이 되어 물질파의 파동함수는

아래와 같이 복소수로 표현된다.

viii) 물질파의 파동:

 

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II. Comparison of Classic Wave Function and Quantum Wave Function

 

 

Ref: What is Quantum Mechanics? (An Incomplete and Amateur Summary) - Scott H Young

 

 

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III.  # 별첨: 증명

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