When and why quantum numbers appear in wave mechanics ?

 

i) (고전역학) 파동: 파동이 아래 그림에 보인 바와 같이 유한한 크기의 공간에 속박되면, 그 공간에 존재할 수 있는 파동(Harmonics)들의 파장은 다음 식을 만족해야 한다.

 where n = 1,2,3,...,∞

이때 나타나는 정수 n을 양자수(quantum number)로 부른다. 따라서 양자수는 특별한 것이 아니라 파동이 유한한 공간 내에 존재하게 되면 필연적으로 나타나는 정수값이다.

만일 파동이 북의 진동과 같은 2차원 진동이라면 양자수는 2개가 나타날 것이고, 3차원 진동이면 양자수는 3개가 나타날 것이다.

 

ii) 입자의 성질과 파동의 성질 비교

              입자의 거동                                 파동의 거동(회절현상)

 

iii) (양자역학) 파동: 한편, 질량을 가진 물질이 입자의 성질 뿐만 아니라 파동의 성질을 동시에 가지는 이중성(Louis de Broglie's Matter Wave)이 발견된 이후, 전자를 비롯한 입자들을 파동역학으로 해석하는 양자역학이 태동하였다.

① 파동이 가진 에너지(E)는 진동수 ν에 비례하며 (E=hν), 이때의 비례상수(h)를 Planck 상수라 한다 (Planck의 가설 E=hν -> Einstein이 (광전현상을 통해) 실험적으로 증명)

② 질량 m을 가진 물체가 (파동으로 거동할 때) 파장(λ)은 운동량(p)에 반비례 (λ=h/p) 한다 (de Broglie의 가설 λ=h/p -> Davisson & Germer이 (전자선 회절현상을 통해) 실험적으로 증명)

한편, 운동량(p)을  으로 정의하면,

- (입자성) 질량 m의 자유 입자 운동에너지 E=mυ²/2로부터 p=mυ 가 얻어진다.

- (파동성) 진동수 ν의 파동 에너지 E=hν로부터 p= 가 된다.

입자성과 파동성을 결합하면, 질량 m의 입자가 가진 에너지는

여기에 이 입자가 유한한 공간 내(L)에 존재한다고 하면, 그 파장이  로 양자화 되므로

이 된다. 즉, 유한한 공간 내에 존재하는 입자의 에너지는 (파동성 때문에) 양자화 되며, 그 값은 양자수에 의존한다.

 

한편, 원자 내에 존재하는 전자의 경우 3-차원의 유한한 공간 내에 존재하므로 3개의 양자수(n, l, m_l)가 나타나며, 추가로 스핀(자전)도 파동성을 띄게 되어 이에 따른 양자수 (s)가 추가적으로 나타나게 되는 것이다.

 

iv) (결론) 양자 및 양자수: 불연속적 값을 가진 양자 그리고 그 값의 크기를 결정하는 양자수는 양자역학에서만 나타나는 현상이 아니며, 파동이 유한한 공간에 구속되는 경우 항상 나타나는 일반적인 현상이다.

마치 기타 연주시 손가락의 위치를 변경하면서 진동하는 현(string)의 길이(L)을 조절하면 파동이 양자화 되면서 길이의 정수배로 짧은 파동들의 집합(고조파 - 서로 다른 양자수 값을 가진 파동들, harmonics)이 공기중으로 방출되면서 음악을 듣게되는 원리와 같다.